3.1 一元函数的导数

1．求下列导数．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x \sqrt{1-x^{2}}+\arcsin x$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle y=\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a},(a>0)$ ，求 $\displaystyle y^{\prime}$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{(1+x) \sqrt{x}}{\mathrm{e}^{x-1}}}+\arcsin \frac{1-x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}, f_{n}(x)=f(f(\cdots f(x)))(n$ 个 $\displaystyle f)$ ，求 $\displaystyle f_{n}^{\prime}(x)$ 。西北工大）
（5）设 $\displaystyle y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ，求 $\displaystyle y^{\prime \prime}$ ．

2．已知 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t),\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．

3．求下列导数．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\varphi(a+b x)-\varphi(a-b x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)=\varphi^{2}(a+b x)-\varphi^{2}(a-b x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
（3）设一元函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 一阶连续可导。令 $\displaystyle f(x)=x^{2} \cdot \varphi(x)$ ，计算 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ ．
（4）已知 $\displaystyle f(x)=(x-a)^{2} \phi(x)$ ，其中 $\displaystyle \phi^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某邻域内连续，求 $\displaystyle f^{\prime \prime}(a)$ ．
（5）已知 $\displaystyle f(x)=(x-a) \varphi(x)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在点 $\displaystyle x=a$ 的某邻域内连续，求 $\displaystyle f^{\prime}(a)$ ．

4．设函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 处连续，分别讨论下列函数在点 $\displaystyle x=a$ 处是否可导．
（1）$\displaystyle f(x)=(x-a) \varphi(x)$ ；（2）$\displaystyle f(x)=|x-a| \varphi(x)$ ；（3）$\displaystyle f(x)=(x-a)|\varphi(x)|$ ．

5．确定 $\displaystyle a, b$ 的值，使下列函数 $\displaystyle f(x)$ 在指定点可导．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, x \leqslant x_{0}, \\ a x+b, x>x_{0},\end{array}\right.$ 试确定常数 $\displaystyle a, b$ 的值，使 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=x_{0}$ 可导．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+1, x<0, \\ a x+b, x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 试确定 $\displaystyle a, b$ 的值，使 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 可导．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+b, x<2, \\ a x+1, x \geqslant 2,\end{array}\right.$ 试确定 $\displaystyle a, b$ 的值，使 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=2$ 可导．

6．求解下列问题．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x}(\sin x+\cos x), x \leqslant 0, \\ a x^{2}+b x+c, x>0,\end{array}\right.$ 试确定常数 $\displaystyle a, b, c$ 的值使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内处处存在．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x}, x<0, \\ a x^{2}+b x+c, x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 试确定常数 $\displaystyle a, b, c$ 的值使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(0)$ 存在．

7．求下列导数．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} \sin \frac{1}{x}, x>0, \\ 0, x=0, \\ \frac{1-\cos x^{2}}{x}, x<0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$.
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} \sin \frac{1}{x}+\sin x, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．

8．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x}+x^{2} \sin \frac{1}{x}-1, x \neq 0 \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，并讨论导函数在 $\displaystyle x=0$ 是否连续．

9．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}+x^{2} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$（1）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ；（2）判定 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的连续性；（3）是否存在 $\displaystyle x=0$ 的一个邻域使 $\displaystyle f(x)$ 在该邻域内单调？

10．已知 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x=0, \\ \alpha x+x^{2} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0,\end{array}(\alpha>1)\right.$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ，且问 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内是否单调？证明你的结论．

11．求极限 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow x}\left(\frac{\sin t}{\sin x}\right)^{\frac{x}{\sin t-\sin x}}$ ，记此极限为 $\displaystyle f(x)$ ．（1）求函数 $\displaystyle f(x)$ 的间断点，并判别间断点类型；（2）讨论 $\displaystyle f(x)$ 的连续性，并说明是否可在 $\displaystyle x=0$ 处定义 $\displaystyle f(0)$ 的值，使得 $\displaystyle f(x)$ 在该点可导．

12．讨论下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处的可导性．
（1）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x, x \text { 为无理数，} \\ x, x \text { 为有理数．}\end{array}\right.$
（2）$\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}, x \text { 为无理数，} \\ x^{2}, x \text { 为有理数．}\end{array}(\right.$ 华南理工 2010, 燕山大学 2010）

13．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x \text { 为有理数，} \\ x^{2}+x, x \text { 为无理数，}\end{array}\right.$（1）证明：若 $\displaystyle x \neq 0$, 则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x$ 处不连续；（2）计算 $\displaystyle f^{\prime}(0)$.

14．设 $\displaystyle D(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \in \mathbf{Q}, \\ 0, x \in \mathbf{R}-\mathbf{Q},\end{array}\right.$（ $\displaystyle \mathbf{Q}$ 为有理数集）．讨论下列函数的可微性．
（1）$\displaystyle f(x)=x^{\alpha} D(x),(\alpha>1)$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=(x-1)^{2} D(x)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} D(x) \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．

15．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{\alpha} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 试讨论 $\displaystyle \alpha$ 的取值范围，使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续、可微及 $\displaystyle f^{\prime}(x)$的连续性．

16．设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{p} \arctan \frac{1}{x^{2}}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的连续性、可微性及导函数的连续性，并在可导时求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ 。

17．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}g(x) \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 且 $\displaystyle g(0)=g^{\prime}(0)=0$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．

18．设 $\displaystyle g(x) \in C^{2}(-\infty,+\infty), g(0)=1$ ．令函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{g(x)-\cos x}{x}, x \neq 0, \\ a, x=0,\end{array}\right.$（1）确定 $\displaystyle a$ 的值，使 $\displaystyle f(x)$在点 $\displaystyle x=0$ 连续；（2）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ；（3）讨论 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 处的连续性。电子科技 2013，哈工大，南京大学 2001，延安大学 2006 ，郑州大学 2002 ，南京师大 2000 ，武汉科技 2005 ，陕西师大 2000 ）

19．设 $\displaystyle g(x)$ 有二阶连续导数，且 $\displaystyle g(0)+g^{\prime}(0)=0$ ．若 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{g(x)-e^{-x}}{x}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ 连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 R 可导且导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 连续．

20．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 有二阶连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0$ ．证 $\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{f(x)}{x}, x \neq 0 \\ f^{\prime}(0), x=0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内有连续的导数．

21．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{g(x)}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 且 $\displaystyle g(0)=g^{\prime}(0)=0, g^{\prime \prime}(0)=a$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(0) .(a=3$ ：燕山大学 2013，聊城大学 2007，湖北大学 2007，深圳大学 2004，北京工大 2006，上海理工 2005；$\displaystyle a=2$ ：三峡大学 2010）

22．如果 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内连续，$\displaystyle f(0)=0$ 且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1-\cos x}=2$ ．（1）求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ；（2）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}$ ；（3）证明：$\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 处取得极小值．

23．求下列导数。
（1）设 $\displaystyle f(x) \in C(-\infty,+\infty)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)}{x-2}=2$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=2$ 处可导，并求 $\displaystyle f^{\prime}(2)$ ．
（2）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=2$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)}{x-2}=1$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=2$ 处可导．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle (-1,1)$ 上的奇函数，$\displaystyle f^{\prime}(0)=2$ ．求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}-1}$ ．

24．求下列极限．
（1）设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\frac{f(x)}{x}\right)}{a^{x}-1}=2,(a>0, a \neq 1)$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}$ ．
（2）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+f(x) \sin x)}{\tan x}=2$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ 。西安电子科技 2005）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续，且恒不为 0 ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+f(x) \sin x}-1}{3^{x}-1}$ ．

25．求下列导数．
（1）设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x+x f(x)}{x^{3}}=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+f(x)}{x^{2}}$ ．
（2）已知 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x-x f(x)}{x^{3}}=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3-f(x)}{x^{2}}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内二阶可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x+x f(x)}{x^{3}}=\frac{1}{2}$ ，试求 $\displaystyle f(0)$ ， $\displaystyle f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ 的值．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内的二阶导数存在且连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin 3 x}{x^{3}}+\frac{f(x)}{x^{2}}\right)=0$ ，求 $\displaystyle f(0)$ ， $\displaystyle f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在原点的邻域二次可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{3}$ ，求 $\displaystyle f(0), f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ 。华中师大2005，武汉理工 2004）
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 有连续导数，$\displaystyle F(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{f(x)+2 \ln (1+x)}{x}, x \neq 0 \\ 1, x=0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle x=0$ 连续，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．

26．求下列极限．
（1）已知 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ 存在，求极限： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{f(x)}$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f^{\prime \prime}(0)=4$ 。求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内有连续的一阶导数，$\displaystyle f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=0$ ．试求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{3}}$ ．
（4）设非负连续函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)$ 存在。求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{1+f(x)}-1}{x}$ ．（浙江工商 2014）

27．求解下列各题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 连续，$\displaystyle \varphi(x)=\int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A$（常数），求 $\displaystyle \varphi^{\prime}(x)$ ，并讨论 $\displaystyle \varphi^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的连续性．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为实轴上的连续函数，在原点处可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=5$ 。求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t$ ．
（3）设 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可导，$\displaystyle a \varphi(x)=\int_{0}^{1} \varphi(x t) \mathrm{d} t$ ，（ $\displaystyle a$ 为非零常数）．求 $\displaystyle \varphi(x)$ 的表达式．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-\tan x}{x}=1$ ，又 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t$ ．求 $\displaystyle F^{\prime}(x)$ ，并讨论 $\displaystyle F^{\prime}(x)$ 的连续性．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-\sin x}{x}=1$ ，又 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t$ ．求 $\displaystyle F^{\prime}(x)$ ，并证明 $\displaystyle F^{\prime}(x)$在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续性．
（6）设 $\displaystyle g(x)$ 连续，$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{\sin x} g\left(x^{2} t\right) \mathrm{d} t$ ．求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，并讨论 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的连续性．

28．求下列函数的高阶导数。
（1）设 $\displaystyle y=\frac{1}{1-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle y^{(n)}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle y(x)=\frac{1}{x-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle y^{(n)}(x)$ ．

29．求下列函数的高阶导数．
（1）设 $\displaystyle f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{-x}$ ，求 $\displaystyle f^{(8)}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=x^{2} \cos 3 x$ ，求 $\displaystyle f^{(50)}(x)$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\left(3 x^{2}-2\right) \sin 2 x$ ，求 $\displaystyle f^{(100)}(x)$ ．
（4）设 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{a x} \sin b x$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(x)$ ．

30．求下列函数的高阶导数．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin x}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 其中 $\displaystyle n \in \mathbf{N}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=(\arcsin x)^{2}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．（海南大学 2010，大连理工 2006（n＝3））
（3）设 $\displaystyle f(x)=x \arccos x$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)=\sin x^{2}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)=x^{3} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 。
（6）设 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（8）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{5}}{\sqrt{1+x^{2}}} \cdot \frac{\sin ^{4} x}{1+\cos ^{2} x}$ ，求 $\displaystyle f^{(6)}(0), \int_{-1}^{1} f^{(6)}(x) \mathrm{d} x$ ．
（9）设 $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}} \sin x$ ，求 $\displaystyle f^{(2012)}(0)$ ．
（10）设 $\displaystyle f(x)=x^{4} \mathrm{e}^{x}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(0) .(n=2006$ ：地质大学 2006 ，山东科技 $\displaystyle 2010, n=100$ ：江苏大学 2014）

31．求解下列各题．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x} \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t, x \neq 0, \text {（1）确定常数 } A \text { 使 } f(x) \text { 在 } \mathbf{R} \text { 任意可导，并求它的幂级数展开 } \\ A, x=0,\end{array}\right.$式；（2）求 $\displaystyle f^{(6)}(0), f^{(7)}(0)$ ．
（2）设 $\displaystyle F(x)=\frac{1}{x} \int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle f^{(8)}(0), f^{(10)}(0)$ 。武汉大学 2012）

32．证明：函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle x=0$ 处 $\displaystyle f^{(n)}(0)=0, n=1,2,3 \cdots$

33．设 $\displaystyle f(x)=x \sin \omega x$ ，求证：$\displaystyle f^{(2 n)}(x)=(-1)^{n}\left(\omega^{2 n} x \sin \omega x-2 n \omega^{2 n-1} \cos \omega x\right), n=1,2, \cdots$ ．

34．设 $\displaystyle f(x)=\arctan x$ ，试求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．

35．设 $\displaystyle f(x)=\arcsin x$ ，证明：$\displaystyle \left(1-x^{2}\right) f^{(n+2)}(x)-(2 n+1) x f^{(n+1)}(x)-n^{2} f^{(n)}(x)=0$ ，并求 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．

36．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内定义，对所有的 $\displaystyle x, y$ ，有 $\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)$ ．证明：（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)=f(1) x$ ；（2）若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin x}=1$ ，试求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续，且对任意 $\displaystyle x, y \in \mathbf{R}$ 有 $\displaystyle f(x+y)=f(x) f(y)$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上可微．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有定义，且对任意 $\displaystyle x, y \in(0,+\infty)$ 都有 $\displaystyle f(x y)=f(x)+f(y)$ 。证明：
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 点处连续，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续；
（2）若 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ 存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可导，并求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．（四川大学 2002 ，西南大学 2002 ，湖南大学

37．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 是实轴上的可微函数，对所有 $\displaystyle \forall x, y \in \mathbf{R}$ ，满足 $\displaystyle f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x) f(y)}$ ，并且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=1$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的表达式。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有定义，已知 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ 存在，且 $\displaystyle \forall x, y \in(0,+\infty)$ ，成立 $\displaystyle f(x y)=y f(x)+x f(y)$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内处处可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{f(x)}{x}+f^{\prime}(1)$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)+2 x y, \forall x, y \in \mathbf{R}$ ，并且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导，（1）试求函数 $\displaystyle f(x)$ 的表达式；（2）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，$\displaystyle f^{\prime}(0)$ 存在，并且满足：$\displaystyle f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-4 f(x) f(y)}, \forall x, y \in \mathbf{R}$ ．（1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上可微；（2）若 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 。
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 为定义在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的已知可导函数，而且对任意实数 $\displaystyle a, b$ 均满足 $\displaystyle f(a+b)=\mathrm{e}^{a} f(b)+\mathrm{e}^{b} f(a)$ ．又已知 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\mathrm{e}$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的表达式（不必求出 $\displaystyle f(x)$ 的表达式）．

38．设 $\displaystyle 0<x<1$ ，求 $\displaystyle S(x)=x^{k}(1-x)^{2 k}$ 的极值．

39．函数 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x^{2}} \frac{1}{t} \ln \left(\frac{t-1}{32}\right) \mathrm{d} t, x \in(1,+\infty)$ 在何处取最小值？

40．判断题．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right)=A, n$ 为自然数，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)=A$ 。